eksponen matematika

Apa itu Eksponen Matematika?

Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat. Definisi eksponen adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan (berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan tesebut juga) Heheh aga rumit mengartikan definisinya dalam kata-kata. Bentuk aⁿ (baca: a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan. a disebut dengan bilangan pokok (basis) dan n disebut eksponennya. Jika n adalah bilangan bulat positif maka definisi dari eksponen

an = a x a x a x ….. x a (a sejumlah n faktor)

contoh : 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

dalam eksponen, bilangan pangkat tidak selamanya selalu bernilai bulat positif tetapi dapat juga bernilai nol, negatif, dan pecahan.

Eksponen (pangkat) nol

Jika a ≠ 0 maka a⁰ = 1
contoh
2⁰ =1
3⁰ =1
128384⁰ =1
x⁰ =1

Eksponen (pangkat) negatif dan pecahan

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif maka
(i) a^-n = 1/aⁿ
contoh
2^-3 = 1/2³ = 1/8
(ii) a^1/n = ⁿ√a
contoh
2^1/2 = √2
2^1/3 = ³√2
Setelah sobat hitung berkenalan dengan eksponen, kita lanjut ke sifat-sifatnya.

Sifat-sifat Eksponen

Dari definisi eksponen di atas dapat datarik kesimpulan tentang karakteristik dan sifat-sifat dari eksponen.

1. a^m . aⁿ = a^m+n 
   Jika sobat punya bilangan dasar sama dengan pangkat berbeda maka hasil perkaliannya adalah bilangan dasar dengan pangkat hasil penjumlahan pangkat masing-masing bilangan.
   Contoh:
   x⁴ . x⁶ = x⁽⁴⁺⁶⁾ = x¹⁰
   7⁴ . 7^-2 = 7^(4-2) = 7²
2. a^m/aⁿ = a^m-n
   Kebalikan dari sift pertama kalau bilangan dasar yang sama membagi salah satu, maka pangkatnya dikurangi
   Contoh:
   x^1/2 : x^1/4 = x^(1/2-1/4) = x^1/4
3. (a^m)ⁿ = a^mn
   Suatu bilangan berpangkat jika dipangkatkan lagi maka pangkat akhirnya adalah perkalian pangkatnya
   Contoh:
   (3²)³ = 3^2.3 = 3⁶
4. (a^m.bⁿ)^p = a^mp. b^np
   Contoh:
   (x².y³)² = x^2.2 . y^3.2 = x⁴.y⁶
5. (a^m/aⁿ)^p = a^mp/a^np
   Contoh
   (2³/2⁴)³ = 2^3.3/2^4.3 = 2⁹/2¹²

Fungsi Eksponen dan Grafiknya

fungsi eksponene merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > 0 dan a ≠ 1. Jika a > dan a ≠ 1, x ∈ R maka f:(x) = ax disebut sebagai fungsi eksponen.
Fungsi eksponen y = f(x) = ax; a> 0 dan a ≠ 1 mempunyai sifat-sifat

• Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)
• memotong sumbu y di titik (0,1)
• mempunyai asimto datar y = 0 (sumbu x)
• grafik monoton naik untuk x > 1
• grafik berbentuk monoton turun untuk 0<x<1

Contoh Soal:

Jika f(x) = 2^x+1 tentukan nilai dari f(3) dan f(-3)
f(3) = 2³⁺¹ = 2⁴ = 16
f(-3) = 2^-3+1 = 2^-2 = 1/4 = 0,25

Persamaan Fungsi Eksponen

ada beberapa bentuk persamaan eksponen diantaranya adalah
(i) jika a^f(x) = a^p maka f(x) = p
(ii) jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

Contoh Soal
tentukan nilai dari x agar 3^2x-3 = 0
jawab
3^2x-3 = 0
3^2x =3¹
2x = 1 maka x = 1/2

tentukan nilai x dari persamaan 3^5x-1 – 27^x+3 = 0
jawab
3^5x-1 – 27^x+3 = 0
3^5x-1 = (3³)^x+3
3^5x-1 = 3^3x+9
5x-1 = 3x + 9
2x = 10
x = 5

cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3^2x+2 + 8.3^x -1 = 0
jawab
3^2x+2 + 8.3^x -1 = 0 untuk memudahkan mengerjakannya sobat bisa memisalkan 3^x  = a
3^2x+2 + 8.3^x -1 = 0
3^2x 3²+ 8.3^x -1 = 0
(3^x)² 3²+ 8.3^x -1 = 0
9a² + 8a -1 = 0 kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut
(9a-1)(a+1) = 0
9a-1 = 0
9a = 1
a = 1/9
atau
a + 1 = 0
a = -1
kembali ke permisalan awal 3^x  = a
3^x  = 1/9 maka x = -2
3^x = -1 (tidak memenuhi) jadi nilai x yang memenuhi adalah -2